Question

P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是（ ）
A．PA=PB=PC
B．PA⊥BC，PB⊥AC
C．点P到△ABC三边所在直线距离相等
D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等

Answer

本题利用直接法和排除法联合求解，对于选项A，C，D用排除法，对于B，用直接法进行证明．
【解析】
条件A为外心的充分必要条件，
条件C、D为内心或旁心的必要条件（当射影在△ABC的形内时为内心，在形外时为旁心）．
对于B：
∵PH⊥平面ABC于H，
∴PH⊥BC，
又PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH，即AH是三角形ABC的高线，
同理，BH、CH也是三角形ABC的高线，
∴垂足H是△ABC的垂心．反之也成立．
故选B．