已知正三棱柱ABC-A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平...

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若过面对角线AB₁与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D．
（1）确定D的位置，并证明你的结论；
（2）证明：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

（1）先将正三棱柱ABC-A1B1C1补成一直平行六面体ABCE-A1B1C1E1，然后根据AE1∥BC1，AE1⊂平面AB1E1，满足线面平行的判定定理，则BC1∥平面AB1E1，从而平面AB1E1应为所求平面，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点．（2）欲证平面AB1D⊥平面AA1D，根据面面垂直的判定定理可知在平面AB1D内一直线与平面AA1D垂直，连接AD，根据线面垂直的判定定理可知B1E1⊥平面AA1D，而B1E1⊂平面AB1D，满足定理所需条件．（1）【解析】如图，将正三棱柱ABC-A1B1C1补成一直平行六面体ABCE-A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1⊂平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点．（2）证明：连接AD，从直平行六面体定义知AA1⊥底面A1B1C1D1，且从A1B1C1E1是菱形知，B1E1⊥A1C1，据三垂线定理知，B1E1⊥AD．又AD∩A1C1=D，所以B1E1⊥平面AA1D，又B1E1⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AA1D．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等