Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C．

Answer

欲证平面D1EF⊥平面AB1C，根据面面垂直的判定定理可知在平面AB1C内一直线与平面D1EF垂直，而B1O⊥EF，B1O⊥D1O1根据线面垂直的判定定理可知B1O⊥平面D1EF，满足定理条件．
证明：如图，∵E、F分别是AB1、CB1的中点，
∴EF∥AC．
∵AB1=CB1，
O为AC的中点，
∴B1O⊥AC．
故B1O⊥EF．
在Rt△B1BO中，∵BB1=，BO=1，
∴∠BB1O=30°．从而∠OB1D1=60°，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1为BO与EF的交点）．
∴△D1B1O1是直角三角形，即B1O⊥D1O1．
∴B1O⊥平面D1EF．又B1O⊂平面ACB1，
∴平面D1EF⊥平面AB1C．