Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．
（Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-EFD₁的体积V．

Answer

（1）方法一：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，观察平面BDD1B1为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的对角面，所以AC⊥平面BDD1B1，故连接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD1B1
方法二：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，由题意易得EF⊥BD，又EF⊥D1D，所以EF⊥平面BDD1B1

（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．由第（1）问可知，点D1到平面B1EF的距离d即为点D1到平面B1EF与平面BDD1B1的交线B1G的距离，故作D1H⊥B1G，垂足为H，所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H．下面求D1H的长度．
解法一：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角函数可解．
解法二：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角形相似可解．
解法三：在矩形BDD1B1及△D1GB1中，观察面积大小关系可解．

（3）本题的设问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，由第（2）问可知，D1H即为三棱锥B1-EFD1的高，所以B1EF为对应的底面．
【解析】
（Ⅰ）证法一：
连接AC．
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，
∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1．
∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD1B1，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．

证法二：
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，
∴EF⊥BD．又EF⊥D1D
∴EF⊥平面BDD1B1，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．

（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，
作D1H⊥B1G，垂足为H．
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，
且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，
∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，
∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H．
解法一：
在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1•sin∠D1B1H．
∵，
，
∴

解法二：
∵△D1HB1～△B1BG，
∴，
∴

解法三：
连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，
即，
∴
（Ⅲ）
=