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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a.求: (1)AB与B1C所成...

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a.求:
(1)AB与B1C所成的角;
(2)AB与B1C间的距离;
(3)AB与B1D间的距离.

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(1)说明∠B1CD是AB与B1C所成角,通过∠DCB1=90°证明AB与B1C所成的角为90°; (2)连接BC1交B1C于O,则BO⊥B1C.说明BO是异面直线AB和B1C的公垂线段,直接求出AB与B1C间的距离; (3)说明AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离,利用垂直关系直接求出AB与B1D间的距离. 【解析】 (1)∵AB∥CD, ∴∠B1CD是AB与B1C所成角. ∵DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C.于是∠DCB1=90°. ∴AB与B1C所成角为90°. (2)连接BC1交B1C于O,则BO⊥B1C. 又AB⊥平面BB1C1C,∴AB⊥BO. ∴BO是异面直线AB和B1C的公垂线段, 易得BO=a, 即AB与B1C间的距离为a. (3)∵AB∥DC,AB⊄平面B1DC,DC⊂平面B1DC, ∴AB∥平面B1DC,从而AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离. ∵BO⊥B1C,BO⊥CD,B1C∩DC=C, ∴BO⊥平面DB1C.∴BO的长为B到平面B1DC间的距离. ∵BO=a,∴AB与B1D间的距离为a.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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