Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a．求：
（1）AB与B₁C所成的角；
（2）AB与B₁C间的距离；
（3）AB与B₁D间的距离．

Answer

（1）说明∠B1CD是AB与B1C所成角，通过∠DCB1=90°证明AB与B1C所成的角为90°；
（2）连接BC1交B1C于O，则BO⊥B1C．说明BO是异面直线AB和B1C的公垂线段，直接求出AB与B1C间的距离；
（3）说明AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离，利用垂直关系直接求出AB与B1D间的距离．
【解析】
（1）∵AB∥CD，
∴∠B1CD是AB与B1C所成角．
∵DC⊥平面BB1C1C，
∴DC⊥B1C．于是∠DCB1=90°．
∴AB与B1C所成角为90°．

（2）连接BC1交B1C于O，则BO⊥B1C．
又AB⊥平面BB1C1C，∴AB⊥BO．
∴BO是异面直线AB和B1C的公垂线段，
易得BO=a，
即AB与B1C间的距离为a．

（3）∵AB∥DC，AB⊄平面B1DC，DC⊂平面B1DC，
∴AB∥平面B1DC，从而AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离．
∵BO⊥B1C，BO⊥CD，B1C∩DC=C，
∴BO⊥平面DB1C．∴BO的长为B到平面B1DC间的距离．
∵BO=a，∴AB与B1D间的距离为a．