Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，E是棱BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（2）若我们把平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．

Answer

（1）连接A1C与AC1交于点F，连接EF，欲证平面A1EC⊥平面AA1C1C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1EC内一直线与平面AA1C1C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA1C1C，满足定理条件；
（2）延长CE交C1B1的延长线于点H，根据二面角平面角的定义可知∠CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角，利用反证法可证得三棱柱不能成为“黄金棱柱”．
（1）证明：连接A1C与AC1交于点F，连接EF，
则由条件可得EC=EA1，则EF⊥A1C．同理EC1=EA，则EF⊥AC1，∴EF⊥面AA1C1C．
而EF⊂面A1EC，所以平面A1EC⊥平面AA1C1C．
（2）【解析】
延长CE交C1B1的延长线于点H，
则有C1B1=B1H=A1B1，则∠HA1C1=90°，且∠CA1H=90°，
所以∠CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角．
若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA1C1=60°，应有CC1=A1C1，与条件AB=AA1矛盾．
所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”．