在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列...

在数列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求证：数列 manfen5.com 满分网

为等差数列；
（2）若m为正整数，当 manfen5.com 满分网

（I）把题设中数列递推式变形得，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列．（II）根据（I）可求得数列的通项公式，进而求得an，令f（n）=，则可表示出f（n+1），进而求得当m≥n≥2时的表达式，进而求得解决大于1，判断出f（n）为递减数列，进而可推断出f（n）的最大值为 f（2），进而问题转化为证明f（2）≤．进而根据推断出进而可知原式得证．【解析】（I）由an+1=2an+2n+1变形得：故数列是以为首项，1为公差的等差数列（II）由（I）得an=n•2n 令当= 又∴ 则为递减数列．当m=n时，f（n）＞f（n+1） ∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列． ∴ 要证：时， = 故原不等式成立．

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考点分析：

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设函数

在[1，+∞）上是增函数．
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．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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