Question

已知点P（2，-1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据两点的距离公式建立等量关系，求出斜率；
（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可；
（3）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．
【解析】
（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，
过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x=2．
若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
由已知，过P点与原点距离为2，得=2，解之得k=．
此时l的方程为3x-4y-10=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0．
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl•kOP=-1，
所以kl=-=2．由直线方程的点斜式得y+1=2（x-2），即2x-y-5=0，
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=．
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．