Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=（n≥2）．
（1）求证：数列{}的通项公式；
（2）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）对一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

Answer

（1）由数列的性质an=Sn-Sn-1及an=（n≥2）得到关系Sn-Sn-1=，对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可．
（2）欲证明不等式一切n∈N×都成立须证明的单调性，求出其最值由（1）知，此式中的各个因子符号为正，故研究其单调性可以借助作商法来研究，故先构造函数，F（n）=，然后再令[F（n）]min≥k即可．
【解析】
（1）证明：∵n≥2时，an=Sn-Sn-1（1分）
∴Sn-Sn-1=，∴（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2Sn2，
∴=Sn-1-Sn=2SnSn-1（3分）
∴=2（n≥2），（5分）
数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
（2）由（1）知，
∴，∴（7分）
设F（n）=，
则
=
=（10分）
∴F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k
∵[F（n）]min=F（1）=，∴0＜k≤，kmax=．（12分）