Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原点．
（Ⅰ）求焦点坐标；
（Ⅱ）若+=，试求动点R的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）设出直线l的方程代入抛物线的方程消去x，设出P，Q的坐标，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，利用，求得0=x1x2+y1y2，求得p，则焦点坐标可得．
（Ⅱ）设出R，利用求得x1+x2=x+1，y1+y2=y，进而根据y12=4x1，y22=4x2和FR中点坐标，利用kPQ=kMA求得x和y的关系式，当x1=x2时，R的坐标为（7，0），也满足y2=4x-28，进而推断出y2=4x-28即为动点R的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）设直线l方程为x=ky+4，代入y2=2px得y2-2kpy-8p=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有y1+y2=2kp，y1y2=-8p
而，
故0=x1x2+y1y2=（ky1+4）（ky2+4）-8p=k2y1y2+4k（y1+y2）+16-8p
即0=-8k2 p+8k2p+16-8p，得p=2，焦点F（1，0）．
（Ⅱ）设R（x，y），由
得（x1-1，y1）+（x2-1，y3）=（x-1，y）
所以x1+x2=x+1，y1+y2=y
而y12=4x1，y22=4x2，
可得y（y1-y2）=（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）
又FR的中点坐标为，
当x1≠x2时，利用kPQ=kMA有
整理得，y2=4x-28．
当x1=x2时，R的坐标为（7，0），也满足y2=4x-28．
所以y2=4x-28即为动点R的轨迹方程．