Question

已知等差数列{a_n}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S_n．
（Ⅰ）设S_k=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设b_n=，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．

Answer

（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n 项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．
【解析】
（Ⅰ）由已知得a1=a-1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，
∴（a-1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a1=2，公差d=a2-a1=2．
由Sk=ka1+，得（4分）
2k+×2=2550
即k2+k-2550=0．解得k=50或k=-51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
（Ⅱ）由Sn=na1+d，得
Sn=2n+×2=n2+n（8分）
∴bn==n+1（9分）
∴{bn}是等差数列．
则b3+b7+b11+…+b4n-1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n-1+1）
=（3+7+11+…+4n-1）+n
=
=+n（11分）
∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n（12分）