Question

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是    ．

Answer

分别求得双曲线的渐近线和准线方程，进而求得准线被它的两条渐近线所截得的线段长度判断①正确．
根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），进而求得e的范围，判断②不正确．
设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a．进而根据|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，求得C的横坐标，判断③正确．
【解析】
双曲线的渐进线为y=±x，准线方程为x=，代入渐进线方程得y=±=
∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×=故①正确．
∵|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+所以e的最大值是1+②不正确．
设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，
因为是内切圆，所以有OA⊥PF1，OB⊥PF2，OC⊥F1F2，且PA=PB，AF1=F1C，BF2=CF2．因为OC⊥F1F2，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．
由双曲线的性质可知
∵|PF1|-|PF2|=2a
∵|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，
∴|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|CF1|-|CF2|=2a，
又∵|CF1|+|CF2|=2c，联立可得CF2=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O点横坐标就为a，故③正确．
故答案为①③