Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、G分别是A₁A，D₁C，AD的中点．求证：
（1）MN∥平面ABCD；
（2）MN⊥平面B₁BG．

Answer

（1）取CD的中点记为E，连接NE，AE，证明MN∥AE，即可MN∥平面ABCD；
（2）证明AE⊥BG，BB1⊥AE，即证明 AE⊥平面B1BG，然后可得MN⊥平面B1BG．
证明：（1）取CD的中点记为E，连接NE，AE．
由N，E分别为CD1与CD的中点可得
NE∥D1D且NE=D1D，
又AM∥D1D且AM=D1D，
所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE，
又AE⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．

（2）由AG=DE，∠BAG=∠ADE=90°，DA=AB
可得△EDA≌△GAB．
所以∠AGB=∠AED，
又∠DAE+∠AED=90°，
所以∠DAE+∠AGB=90°，
所以AE⊥BG，
又BB1⊥AE，所以AE⊥平面B1BG，
又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG．