Question

已知椭圆上三点A（x₁，y₁），B（4，y₂），C（x₃，y₃）和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列．
①求x₁+x₃；
②求证线段AC的垂直平分线过定点，并求出此定点的坐标．

Answer

①根据椭圆的性质，椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于e，将问题转化为A、B、C三点右准线的距离成等差数列，表示出这三个距离，由等差关系转化成等式即可化简出结论．
②由点差法得出直线AC的斜率与其中点坐标的关系，再由垂直得出其垂线的斜率，由点斜式得出中垂线方程，发现其为一过定点的直线，得出此坐标即可．
【解析】
①根据椭圆的性质，椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于e，
由A、B、C和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列，可得A、B、C三点右准线的距离成等差数列；
即|-x1|+|-x3|=2|-4|；
又由-5≤x1、x3≤5＜；
化简可得x1+x3=8
②设直线AC的斜率为k，则AC中点的坐标为（4，t），将A（x1，y1），C（x3，y3）代入椭圆的方程，
故有
两者作差得=0，故得，即k=-，故t=-
又其垂直平分线的斜率为，故垂直平分线方程为y-t=（x-4）即y+=（x-4）故有y=（x-4+）=（x-）
即中垂线方程为y=（x-）
∴过定点