Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，所有项a_n＞0，且，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer

（Ⅰ）先看n=1时根据a1=s1求得a1，进而根据an=sn-sn-1求得数列的递推式整理得an-an-1=2判断出数列{an}是以3为首项，2为公差之等差数列，则通项公式可得．
（Ⅱ）利用错位相减法求得数列的前n项的和．
【解析】
（Ⅰ）n=1时，，解出a1=3
又4sn=an2+2an-1-3①
4sn-1=an-12+2an-3（n≥2）②
①-②4an=an2-an-12+2an-2an-1
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an+an-1＞0
∴an-an-1=2（n≥2）
∴数列{an}是以3为首项，2为公差之等差数列
∴an=3+2（n-1）=2n+1
（Ⅱ）Tn=3×21+5×22++（2n+1）•2n+0③
又2Tn=0+3×22++（2n-1）•2n+（2n+1）2n+1④
④-③Tn=-3×21-2（22+23++2n）+（2n+1）2n+1=（2n-1）2n+1+2
∴Tn=（2n-1）•2n+1+2