Question

已知数列{a_n}满足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n项和S_n=（1-a_n）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n为数列{b_n}的前n项和，那么：
①当a=2时，求T_n；
②当a=-时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用an=sn-sn-1得到整理得=a，所以：{an}为等比数列；
（2）根据（1）an=an化简得bn①当a=2时，Tn=（2+2•22++n•2n）lg2，2Tn=[22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1]lg2，两式相减得到Tn；②如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数．b2k+2-b2k=2a2k（a2-1）（k-）lg|a|，其中k∈N+，判断b2k+2-b2k的符号来求出m即可．
【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（1-an-1），
整理得：=a，
所以{an}是公比为a的等比数列；
（2）∵a1=a，∴an=an（n∈N*），
∴bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|（n∈N*），
①当a=2时，Tn=（2+2•22++n•2n）lg2，2Tn=[22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1]lg2，
两式相减得：-Tn=（2+22+23++2n-n•2n+1）lg2，
②∵-1＜a＜1，∴当n为偶数时，bn=nanlg|a|＞0；当n为奇数时，bn=nanlg|a|＜0，
如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数，
又b2k+2-b2k=2a2k（a2-1）（k-）lg|a|，其中k∈N*，
当a=-时，a2-1=，
∴2a2k（a2-1）lg|a|＞0，又=，
∴当k＞时，b2k+2＞b2k，即bg＜b10＜b12；
当k＜时，b2k+2＜b2k，即b8＜b6＜b4＜b2，
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有bn≥bm．