Question

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂≥2k-1（k∈N*）的正整数x的个数．
（1）求f（k）的解析式；
（2）记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），P_n=n²+n-1（n∈N*）试比较S_n与P_n的大小．

Answer

（1）、由log2x+log2（3•2k-1-x）≥2k-1可知，解这个不等式组得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式．
（2）、由Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1可知Sn-Pn=2n-n2．n=1时，S1-P1=2-1=1＞0；n=2时，S2-P2=4-4=0；n=3时，S3-P3=8-9=-1＜0；n=4时，S4-P4=16-16=0；n=5时，S5-P5=32-25=7＞0；n=6时，S6-P6=64-36=28＞0．猜想，当n≥5时，Sn-Pn＞0．然后用数数归纳法进行证明．
【解析】
（1）∵log2x+log2（3•2k-1-x）≥2k-1
∴，
解得2k-1≤x≤2k，∴f（k）=2k-2k-1+1=2k-1+1
（2）∵Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1
∴Sn-Pn=2n-n2
n=1时，S1-P1=2-1=1＞0；n=2时，S2-P2=4-4=0
n=3时，S3-P3=8-9=-1＜0；n=4时，S4-P4=16-16=0
n=5时，S5-P5=32-25=7＞0；n=6时，S6-P6=64-36=28＞0
猜想，当n≥5时，Sn-Pn＞0
①当n=5时，由上可知Sn-Pn＞0
②假设n=k（k≥5）时，Sk-Pk＞0
当n=k+1时，Sk+1-Pk+1=2k+1-（k+1）2=2•2k-k2-2k-12（2k-k2）+k2-2k-1
=2（Sk-Pk）+k2-2k-1＞k2-2k-1=k（k-2）-1≥5（5-2）-1=14＞0
∴当n=k+1时，Sk+1-Pk+1＞0成立
由①、②可知，对n≥5，n∈N*，Sn-Pn＞0成立即Sn＞Pn成立
由上分析可知，当n=1或n≥5时，Sn＞Pn
当n=2或n=4时，Sn=Pn
当n=3时，Sn＜Pn．