Question

已知函数f（x）=-x²+2x
（1）证明函数f（x）在（-∞，1]上是增函数；
（2）当x∈[-5，-2]时，f（x）是增函数还是减函数？

Answer

（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f（x）满足：
在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2且x1＜x2，f（x1）＜f（x2），
小前提是函数f（x）=-x2+2x，x∈（-∞，1]，结论满足增函数定义．
（2）关键是看[-5，-2]与f（x）的增区间或减区间的关系．
【解析】
（1）方法一：任取x1，x2∈（-∞，1]，x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=（x2-x1）（x2+x1-2），
∵x1＜x2≤1，∴x2+x1-2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）
∴f（x）=-x2+2x在（-∞，1]上是增函数；
方法二：
∵f′（x）=-2x+2=-2（x-1），当x∈（-∞，1）时，x-1＜0，∴-2（x-1）＞0，
∴f′（x）＞0在x∈（-∞，1）上恒成立．
故f（x）在（-∞，1]上是增函数．
2）∵f（x）在（-∞，1]上是增函数，
而[-5，-2]是区间（-∞，1]的子区间，∴f（x）在[-5，-2]上是增函数．