Question

请先阅读：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整数n≥2），证明：．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）．

Answer

（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．
（2）（i）对（1）中的x 赋值-1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值-1化简即得证．
（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
证明：（1）在等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x++（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1
移项得（*）
（2）（i）在（*）式中，令x=-1，整理得
所以
（ii）由（1）知n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，n≥3
两边对x求导，得n（n-1）（1+x）n-2=2Cn2+3•2Cn3x+…+n（n-1）Cnnxn-2
在上式中，令x=-1，得0=2Cn2+3•2Cn3（-1）+…+n（n-1）Cn2（-1）n-2
即，
亦即（1）
又由（i）知（2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分
由微积分基本定理，得
所以