Question

平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n²+n+2个部分．

Answer

用数学归纳法证明几何问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，1个圆将平面分成几部分，第二步，先假设当k个圆将平面分成k2-k+2个部分，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．
证明：（1）n=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立．
（2）假设n=k（k∈N*）时，k个圆将平面分成k2-k+2个部分．
当n=k+1时，第k+1个圆Ck+1交前面2k个点，这2k个点将圆Ck+1分成2k段，
每段各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，
所以这k+1个圆将平面分成k2-k+2+2k个部分，即（k+1）2-（k+1）+2个部分．
故n=k+1时，命题成立．由（1）、（2）可知，对任意n∈N*命题成立．