Question

如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（III）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

Answer

（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，进一步易得平面COD⊥平面AOB
（2）解法一：求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角
解法二：以O为坐标原点，分别以OC、OB、OA为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（3）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（3）问作铺垫的．求直线与平面所成的角，首先要作出这个平面的垂线，由第（1）问可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD与平面AOB所成的角，tan∠CDO==，当OD最小时，tan∠CDO最大
【解析】
（I）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO⊂平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，，
∴．
又．
∴
∴在Rt△CDE中，．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为．（9分）

解法二：建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则O（0，0，0），，C（2，0，0），，
∴，，
∴=．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，，，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为．（14分）