Question

已知函数，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数有零点，求b的最小值．

Answer

（1）由题设函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．
（2）由（1）解出a=-4，函数有零点，即在上有根，可以转化为4x4-bx3+b2=0在上有根，下根据方程的根与函数零点的关系将方程有根的问题转化为研究函数h（x）=4x4-bx3+b2在上存在零点的条件来求参数b的最小值．
【解析】
（1）若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为．
由于此时，
故函数的值域．
由题意，有，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由，即，
得4x4-bx3+b2=0．
记h（x）=4x4-bx3+b2，
则h′（x）=16x3-3bx2，令h′（x）=0，（10分）
易知上递减；在上递增．
∴是h（x）的一个极小值点．（12分）
又，∴由题意有：，（14分）
即4，∴，
故．（16分）