Question

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．（1）若c_n=n，n∈N^*，求数列{b_n}的通项公式；（2）若A∩B=∅，数列{c_n}的前5项成等比数列，且c₁=1，c₉=8，求的正整数n的个数．

Answer

（1）根据已知数列{an}的通项公式是an=2n-1，数列{bn}是等差数列，令集合A={a1，a2，…，an，…}，B={b1，b2，…，bn，…}，n∈N*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}．若cn=n，n∈N*，对元素3、5、6、7进行分析，得出数列{bn}是公差为1的等差数列．分类求出即可．
（2）若A∩B=∅，数列{cn}的前5项成等比数列，且c1=1，c9=8，对元素2进行分类讨论，从而求得的正整数n的个数．
【解析】
（1）若cn=n，因为5，6，7∉A，则5，6，7∈B，由此可见，
等差数列{bn}的公差为1，而3是数列{bn}中的项，
所以3只可能是数列{bn}中的第1，2，3项，
若b1=3，则bn=n+2，
若b2=3，则bn=n+1，
若b3=3，则bn=n；
（2）首先对元素2进行分类讨论：
①若c2=2，由{cn}的前5项成等比数列，得c4=23=8=c9，这显然不可能；
②若c3=2，由{cn}的前5项成等比数列，得b12=2，
因为数列{cn}是将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的，
所以bn＞0，则，因此数列{cn}的前5项分别为1，，2，，4，
这样，则数列{cn}的前9项分别为1，，2，，4，，，，
上述数列符合要求；
③若ck=2（k≥4），则b2-b1＜2-1，
即数列{bn}的公差d＜1，
所以b6=b1+5d＜2+5=7，1，2，4＜c9，所以1，2，4在数列{cn}的
前8项中，由于A∩B=φ，这样，b1，b2，，b6以及1，2，4共9项，
它们均小于8，即数列{cn}的前9项均小于8，这与c9=8矛盾．
综上所述，，
其次，当n≤4时，，，，
当n≥7时，，因为{an}是公差为的等差数列，
所以，
所以，
此时的n不符合要求．
所以符合要求的n一共有5个．