Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，，e为椭圆C的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，分析可得这个顶点是长轴的端点，则有a+c=7，a-c=1；解可得ac的值，进而可得b的值，即可得答案；
（2）设M（x，y），P（x，y1 ），根据椭圆的方程为+=1且P在椭圆上，可得e的值与y12=①；根据题意，有=e2=②；联立①②化简可得答案．
【解析】
（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，
则这个顶点不会是短轴的端点，而是长轴的端点，
则有a+c=7，a-c=1；
解可得a=4，c=3；
则b=；
故椭圆的方程为+=1；
（2）设M（x，y），P（x，y1 ），
椭圆的方程为+=1中，e==；
又由椭圆方程为+=1，且P在椭圆上，即y12=①；
根据题意得=e2=②；
①②联立化简可得，y2=；
即y=±，（-4≤x≤4）
其轨迹是两条平行于x轴的线段．