Question

已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

Answer

（1）先根据f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，结合幂函数的性质得出-m2+2m+3＞0，据此求得m的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）先求导数：g'（x）=x（x2+3ax+9），为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+9≥0恒成立，再利用二次函数的根的判断式即可求得a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m2+2m+3＞0即m2-2m-3＜0∴-1＜m＜3，又m∈z，∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数，∴f（x）=x4．
（2）g'（x）=x（x2+3ax+9），显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根．
为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a2-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2]．
这时，g（0）=-b是唯一极值．∴a∈[-2，2]．