Question

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首项为1，公差为1的等差数列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer

（1）根据原等差数列的首项和公差求出a10，根据a20的值，由a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列，利用等差数列的性质列出关于d的方程，求出方程的解即可得到d的值；（2）由a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列，利用等差数列的性质表示出a30是关于d的二次函数，根据d不等于0，利用二次函数即可求出a30的取值范围；（3）根据题意归纳出：当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列，可以续写已知数列，并利用类似（2）中的方法归纳出a10（n+1）的取值范围．
【解析】
（1）a10=1+9=10．a20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），
a30=10，
当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{an]，
其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3），
依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+dn）=．
当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．