Question

如果对于函数f（x）的定义域内任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤成立．
（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

Answer

新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义才能答题，对于（1）只需按照定义作差：|f（x1）-f（x2）|，
然后寻求条件：|x1+x2-1|≤1．
（2）的解答稍微复杂一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的技巧应用即对已知条件f（0）=f（1）的充分利用．
（3）的解答虽有难度，但是不要求证明，难度大大降低，此处可先取定一个m值利用图形的直观性将不难寻求到a的取值范围．
证明：（1）对于任意的x1，x2∈[0，1]，
      有-1≤x1+x2-1≤1，|x1+x2-1|≤1．（2分）
      从而|f（x1）-f（x2）|=|（x12-x1）-（x22-x2）|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|．
∴函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
（2）当|x1-x2|＜时，由已知得|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|＜；（6分）
     当|x1-x2|≥时，因为x1，x2∈[0，1]，不妨设0≤x1＜x2≤1，其中x1-x2≤-，
     因为f（0）=f（1），所以：
|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-+1=．
    故对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤成立．（10分）
（3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
     接给出正确结论）（14分）