Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①对任意n∈N⁺，≤a_n+1，恒成立；②对任意n∈N⁺，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，且a₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围．

Answer

（Ⅰ）首先由已知a3=4，S3=18再根据an=a1+（n-1）d，可求出a1、d及Sn，然后根据等差数列的求和公式求出sn，比较得的正负，看是否符合条件①；再由Sn的公式判断是否符合条件②；若都否和，则{Sn}∈W．
（Ⅱ）首先根据已知条件{bn}∈W知{bn}符合条件②，故必须求出{bn}的最大值，因而由bn+1-bn=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减，当n=1，2时，bn+1-bn＞0，b1＜b2＜b3，因此可以得出数列{bn}中的最大项是b3=7，进而可知M≥7．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，则
，解得，（2分）
∴Sn=na1+d=-n2+9n，
∴-Sn+1====-1＜0
∴得＜Sn+1，适合条件①．（5分）
又Sn=-n2+9n=-+，
∴所以当n=4或n=5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②．（7分）
综上，{Sn}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，
∴当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减；（11分）
当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3，（12分）
因此数列{bn}中的最大项是b3=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞）．（14分）