Question

设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f′（x），且对任意正数x均有f′（x）＞，
（Ⅰ）判断函数F（x）=在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（0，+∞），比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小，并证明你的结论．

Answer

（I）先求出F′（x）=，然后根据条件对任意正数x均有f′（x）＞，确定出F′（x）的符号，得到函数在（0，+∞）上的单调性；
（II）根据F（x）在（0，+∞）上是增函数得到F（x1）＜F（x1+x2），化简变形可得（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2），同理可得（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2），将两式相加即可判定出f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小．
【解析】
（Ⅰ）由于f′（x）＞得，＞0，而x＞0，
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=＞0，因此F（x）=在（0，+∞）上是增函数．（6分）
（Ⅱ）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，
而F（x）=在（0，+∞）上是增函数，
则F（x1）＜F（x1+x2），即＜，
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），（9分）
同理（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）（11分）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）（14分）