Question

已知函数f（x）=x²-2x，x∈[a，b]的值域为[-1，3]，则b-a的取值范围是    ．

Answer

根据函数f（x）=x2-2x的单调性：在区间（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，可知f（x）在R上的最小值为f（1）=-1，因此可以按如下两种情况：①f（a）=3解出a=-1，此时1≤b≤3；②若f（b）=3解出b=3，此题-1≤a≤1．据此即可得出答案．
【解析】
因为函数f（x）=x2-2x在区间（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
可知f（x）在R上的最小值为f（1）=-1，且f（-1）=f（3）=3，
①当a=-1时，因为x∈[a，b]的值域为[-1，3]，
所以必有1∈[a，b]，故1≤b且f（b）≤3，解得1≤b≤3；
②当b=3时，因为x∈[a，b]的值域为[-1，3]，
所以必有1∈[a，b]，故a≤1且f（a）≤3，解得-1≤a≤1；
综上可得，b-a的最小值为1-（-1）=2或3-1=2，最大值为3-（-1）=4
故答案为：[2，4]