Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值．

Answer

（I）欲证平面ABC1D1⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面PDB内一直线与平面ABC1D1垂直，根据面面垂直的性质定理可知DP⊥平面ABC1D1；
（II）根据AD1∥BC1，P为线段AD1上的点，得到三角形PBC1的面积为定值，再根据CD∥平面ABC1D1，得到点D到平面PBC1的距离为定值，从而得到三棱锥D-BPC1的体积为定值，在利用体积公式求出三棱锥D-PBC1的体积即可．
证明：（Ⅰ）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥面AA1D1D，
又AB⊂ABC1D1∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，
∵λ=1时，P为AD1的中点，∴DP⊥AD1，
又∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1，
∴DP⊥平面ABC1D1，
又DP⊂平面PDB，∴平面ABC1D1⊥平面PDB．

（Ⅱ）∵AD1∥BC1，P为线段AD1上的点，
∴三角形PBC1的面积为定值，
即，
又∵CD∥平面ABC1D1，
∴点D到平面PBC1的距离为定值，即，
∴三棱锥D-BPC1的体积为定值，
即．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC1的体积恒为定值．