Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值．

Answer

（1）先根据ABB1A1是菱形，∠A1AB=60°得到△A1B1B是正三角形，则BM⊥A1B，然后根据平面ABB1A1与平面A1B1C1垂直的性质性质定理可知BM⊥平面A1B1C1，而AC∥A1C1，从而得到结论；
（2）根据题意可知BE⊥B1C1，根据二面角平面角的定义可知∠BEM为所求二面角的平面角，在△A1B1C1中，求出ME，在Rt△BMB1中，求出MB，最后在三角形BEM中求二面角的正切值．
【解析】

（1）证明：∵ABB1A1是菱形，∠A1AB=60°⇒△A1B1B是正三角形
又∵⇒BM⊥平面A1B1C1
⇒BE⊥AC
（2）⇒BE⊥B1C1∴∠BEM为所求二面角的平面角
△A1B1C1中，ME=MB1•sin60°=，Rt△BMB1中，MB=MB1•tan60°=a
∴tan∠BEM==2，∴所求二面角的正切值是2