Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：直线B₁D∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅲ）求三棱锥D-D₁OC的体积．

Answer

（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．
（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB1，从而证明AC⊥B1D，同理可证B1D⊥AD1，进而可证；
（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D-D1OC与三棱锥D1-DOC的体积相等，D1-DOC的高是D1D的长，面积等于底面正方形面积的，体积可求．
【解析】

（Ⅰ）连接OE，在△B1BD中，
∵E为BB1的中点，O为BD的中点，
∴OE∥B1D
又∵B1D⊄平面AEC
∴直线B1D∥平面AEC．（4分）

（Ⅱ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC
且BB1∩BD=B
∴B1D⊥AC
∴AC⊥B1D
同理可证B1D⊥AD1
∵AC∩AD1=A
∴B1D⊥平面D1AC．（9分）
（Ⅲ）．（14分）