Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．
（1）证明f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）如果f（x-c），f（x-c²）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
（3）证明：若-1≤c≤2，则f（x-c），f（x-c²）存在公共的定义域，并求出这个公共的定义域．

Answer

（1）由已知对任意的x1、x2∈[-1，1]，且x1≠x2，都有，从而x1-x2与f（x1）-f（x2）异号，所以f（x）在[-1，1]上是减函数．
（2）由f（x-c）的定义域得f（x-c2）的定义域，根据题目条件可得关于c的不等式，通过求解可得c的取值范围．
（3）有（2）问可知：当-1≤c≤2时，f（x-c），f（x-c2）存在公共的定义域．若c2-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0时，c2+1≥c+1，c2-1≥c-1，此时的交集是[c2-1，c+1]；若0＜c＜1，则c2+1＜c+1，c2-1＜c-1，此时的交集是[c-1，c2+1]
【解析】
（1）由已知对任意的x1、x2∈[-1，1]，且x1≠x2，
都有，从而x1-x2与f（x1）-f（x2）异号，
所以f（x）在[-1，1]上是减函数．
（2）因为f（x-c）的定义域是[c-1，c+1]，f（x-c2）的定义域是[c2-1，c2+1]，
因为以上两个集合的交集为空集，所以c2-1＞c+1或c2+1＜c-1解得：c＞2或c＜-1
（3）因为c2+1＞c-1恒成立，有（2）问可知：当-1≤c≤2时，
f（x-c），f（x-c2）存在公共的定义域．
若c2-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0时，c2+1≥c+1，c2-1≥c-1，此时的交集是[c2-1，c+1]，即为公共的定义域；
若0＜c＜1，则c2+1＜c+1，c2-1＜c-1，此时的交集是[c-1，c2+1]，即为公共的定义域．