Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（3）函数有几个零点？

Answer

（1）先表示出汗水F（x）的表达式，再根据F（x-5）=F（5-x）求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式．
（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
（3）对函数h（x）进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点．
【解析】
（1）由题设得：F（x）=x2+bsinx，
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x）
∴x2-bsinx=x2+bsinx，
∴bsinx=0对于任意实数x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x2-2．

（2）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx，
得
g（x）在（0，1）上恒单调，只需g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1）上恒成立．
设u（x）=-（2x2+2x），x∈（0，1），易知：u（x）∈（-4，0），
∴a≥0或a≤-4．

（3）令，，
令y′=0⇒x=0或x=1或x=-1，列表如下：
∴当k＞时，无零点；
当k＜1或k=时，有两个零点；
当k=1时，有三个零点；
当时，有四个零点．