Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试构造一个数列{b_n}，（写出{b_n}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有b_n＜a_n，且=2，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i-c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令c_n=1-（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer

（1）根据f（x）≤0的解集有且只有一个元素判断△等于0，求得a，则函数解析式可得，进而求得Sn．
（2）构造数列bn=n-k，任意的正整数n都有bn＜an，则当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，求得k的范围，进而根据bn≠0，k∉N*，求得bn．
（3）把（1）中求得的an代入cn=1-中求得Cn，通过Cn+1-Cn＞0判断数列{cn}递增，进而根据a4=-＜0，1-＞0n≥5，可知a4-a5＜0，求得n≥3时，有且只有1个变号数；进而根据C1-C2＜0，C2-C3＜0，判断n≤2时变号数有2个，最后综合答案可得．
【解析】
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2-4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∝）上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
an=Sn-Sn-1=综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4，∴Sn=n2-4n+4
（2）要使=2，，可构造数列bn=n-k，
∵对任意的正整数n都有bn＜an，
∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2
∴k＞3，
又bn≠0，∴k∉N*，∴bn=n-，．
（3）由题设Cn=，
∵n≥3时，Cn+1-Cn=-=＞0，
∴n≥3时，数列{cn}递增，
∵a4=-＜0，由1-＞0
n≥5，可知a4-a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C1=-3，C2=-5，C3=-3，即C1-C2＜0，C2-C3＜0，∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．