Question

已知数列{a_n}中，a₂=p（p是不等于0的常数），S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S_n=．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）记c_n=T_n-2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有c_n∈（，3），若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先利用an=Sn-Sn-1 （n≥2）求出数列的递推关系式（n-2）an=（n-1）an-1，再通过一步步代换求出数列的通项公式，最后看是否满足等差数列的定义即可证明结论．
（2）先对数列的通项整理得bn=2+2（-），再利用分组求和法求数列{bn}的前n项和Tn即可；
（3）先由cn=Tn-2n=3-2（+）知其小于3对所有正整数n都成立；下面把cn＞转化为+＜，利用函数的单调性求出满足条件的n的范围即可求出对应的N值．
【解析】
（1）由S1=a1==0得a1=0，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-an-1，
故（n-2）an=（n-1）an-1，
故当n＞2时，an=an-1=••••••a2=（n-1）p，
由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，an=（n-1）p，an+1-an=p，
由于p是常数，故数列{an}为等差数列．
（2）Sn==，
bn==+=2+2（-），
∴Tn=2n+2（1-+-+-+-++-+-）
=2n+2（1+--）
=2n+3-2（+）．
（3）cn=Tn-2n=3-2（+）＜3对所有正整数n都成立；
若cn＞，即3-2（+）＞⇒+＜，
记f（n）=+，
则f（n）单调递减，又
f（6）=+＞+=，
f（7）=+＜+=，
故只要取N=6，则当n＞N时，f（n）＜．
故存在正整数N，使得当n＞N时，恒有cn∈（，3）．N可以取所有不小于6的正整数．