Question

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；
（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可．
【解析】
（Ⅰ）∵，令f′（x）=0，∵x＞0∴x=
所以f（x）的极小值为1，无极大值．（7分）
（Ⅱ）∵
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） _ +
f（x） 减 1 增

，
若k′（x）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．
故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）
∴．
所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）