Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，E，F，E₁分别是棱AA₁，BB₁，A₁B₁的中点．
（1）求证：CE∥平面C₁E₁F；
（2）求证：平面C₁E₁F⊥平面CEF．

Answer

（1）要求证：CE∥平面C1E1F，取CC1的中点G，连接B1G交C1F于点F1，连接E1F1，A1G，FG，证明E1F1∥CE即可；
（2）要证：平面C1E1F⊥平面CEF，证明C1F⊥CF，EF⊥C1F即可．
证明：（1）取CC1的中点G，连接B1G交C1F于点F1，连接E1F1，A1G，FG，
∵F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，
∵四边形FGC1B1也是矩形，
∴FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点．
又E1是A1B1的中点，∴A1G∥E1F1．
又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点，
∴A1E綊CG，∴四边形A1ECG是平行四边形，
∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE．
∵CE⊄平面C1E1F，E1F1⊂平面C1E1F，
∴CE∥平面C1E1F．
（2）∵长方形BCC1B1中，BB1=2BC，F是BB1的中点，
∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形，
∴∠BFC=∠B1FC1=45°，
∴∠CFC1=180°-45°-45°=90°，
∴C1F⊥CF．
∵E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，
∴EF∥AB．
又AB⊥平面BCC1B1，又C1F⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F．
又CF∩EF=F，∴C1F⊥平面CEF．
∵C1F⊂平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF．