Question

如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
（3）若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD．

Answer

（1）要证PA⊥BD，只需证明AB⊥BD、PB⊥BD（因为PA、PB是平面PAB内的两条相交直线）；
（2）利用反证法证明，推出CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，可证：PA≠PD；
（3）在上l取一点E，使PE=BC，利用直线l∥直线BC，推出PC∥BE，可以证明直线PC∥平面EBD．
（1）∵ABCD为直角梯形，AD=AB=BD，
∴AB⊥BD，（1分）
PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，
BD⊥平面PAB，（4分）
PA⊂面PAB，∴PA⊥BD．（5分）

（2）假设PA=PD，取AD中点N，连PN，BN，
则PN⊥AD，BN⊥AD，（7分）
AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，（8分）
又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥CD（9分）
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD
不垂直矛盾
∴PC≠PD（10分）

（3）在上l取一点E，使PE=BC，（11分）
∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，（12分）
∴PC∥BE，PC⊄平面EBD，BE⊂平面EBD
∴PC∥平面EBD．（14分）