Question

椭圆上的一点p到两焦点距离之积为m，则m最大时，P点坐标是（ ）
A．（5，0）和（-5，0）
B．（0，3）和（0，-3）
C．和
D．和

Answer

设焦点坐标为F1，F2，依题意可知|PF1|+|PF2|=10，|PF1|•|PF2|=m，根据均值不等式可求得2|PF1|•|PF2|≤|PF1|2+|PF2|2求得m的最大值，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，根据椭圆对称性可知当点P在椭圆的短轴顶点时，等号成立．点P的坐标可得．
【解析】
设焦点坐标为F1，F2，依题意可知|PF1|+|PF2|=10，|PF1|•|PF2|=m
∴|PF1|2+|PF2|2=100-2m
∵2|PF1|•|PF2|≤|PF1|2+|PF2|2
∴2m≤100-2m，即m≤25（当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立）
即当点P在椭圆的短轴顶点时，等号成立．
∴此时点P的坐标为（0，3）和（0，-3）
故选B