Question

已知双曲线，过点P（0，1）作斜率k＜0的直线l与双曲线恰有一个交点．
（1）求直线l的方程；
（2）若点M在直线l与x≥0，y≥0所围成的三角形的三条边上及三角形内运动，求z=-x+y的最小值．

Answer

本题考查的知识点是直线的一般式方程，及简单的线性规划，（1）由过点P（0，1）作斜率k＜0的直线l与双曲线恰有一个交点．联立直线与双曲线的方程，则易得到直线的斜率，代入即可得到直线的方程．（2）我们画出直线l与x≥0，y≥0所围成的三角形，求出三角形的各个顶点，代入即可得到目标函数z=-x+y的最小值．
【解析】
（1）由于直线l过P（0，1）点，
设直线l的方程为：y=kx+1（k＜0）
将直线方程代入双曲线方程得：
（-k2）x2-2kx-2=0①
由直线l与双曲线恰有一个交点，则方程①的△=0
即4k2+8（-k2）=0
解得k=-1
∴直线l的方程为：y=-x+1
即：x+y-1=0
（2）直线l与x≥0，y≥0所围成的三角形如下图示：

由图可知：当经x=1，y=0时，目标函数z=-x+y有最小值-1