Question

从点M（0，3）出发的一束光线射到直线y=4上后被该直线反射，反射线与椭圆交于A，B两点，与直线y=-3交于Q点，P为入射线与反射线的交点，若|QA|=|PB|，求反射线所在直线的方程．

Answer

利用物理知识及对称可知，虚拟光源M′与M关于直线y=4对称，求出M′的坐标并设反射线的斜率为k，表示出反射线的方程，与圆的方程联立消去x，得到一个关于y的一元二次方程，由由|QA|=|PB|得反射线与椭圆两交点的y值和为等于1，然后利用韦达定理表示出反射线与椭圆两交点的y值的和，列出关于k的方程，求出k的值，经过检验把满足题意k的值代入①，即可得到反射线的方程．
【解析】
将M变为虚拟光源M′（0，5），设反射线为：y-5=kx①
联立①和椭圆方程得消去x得到（4k2+3）y2-30y+75-12k2=0
由|QA|=|PB|得反射线与椭圆两交点的y值和为4-3=1=，
解得k=-，k=（舍去）
所以反射线所在直线的方程为：y-5=-x
化简得：y=-x+5