Question

已知顶点为原点O，焦点在x轴上的抛物线，其内接△ABC的重心是焦点F，若直线BC的方程为4x+y-20=0．
（1）求抛物线方程；
（2）轴上是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线交于P，Q两点，满足∠POQ=90°？证明你的结论．

Answer

（1）先设抛物线方程为y2=4px，然后表示出焦点坐标，抛物线和直线方程联立可消去y得到4x2-（p+40）x+100=0，进而可得到B，C的横坐标之和与纵坐标之和，再由A点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程，最后将A，B，C的坐标代入△ABC重心坐标公式可求得p得值，从而确定抛物线方程．
（2）先设点M、P、Q的坐标，①当直线斜率不存在时构造向量、，然后根据∠POQ=90°得到两向量的数量积等于0可得到M的坐标；②当斜率存在时，构造直线方程然后与抛物线联立消去x，可以得到两根之和、两根之积，同样构造向量、，然后根据∠POQ=90°得到两向量的数量积等于0可得到M的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的方程为y2=4px，则其焦点为（p，0）
与直线方程4x+y-20=0联立，有：（-4x+20）2=4px
∴4x2-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20
该方程的解为B，C两点的坐标（x2，y2），（x3，y3）
x2+x3=（1）
y2+y3=-4（x2+x3）+40=-p （2）
设A（x1，y1）
∵A在抛物线上
∴y12=4px1（3）
△ABC重心坐标为：（，）
∵重心为抛物线焦点
∴=p，=0
将（1），（2）代入，得：
x1+=3p，y1-p=0
与（3）联立，三个方程，x1，y1，p三个未知数，可解
解得：p=4
故抛物线的方程为y2=16x．
（2）设点M（a，b）  P（x4，y4）  Q（x5，y5）
①当直线L的斜率不存在时   即  x4=x5=a   且 a＞0
则：令  y4=4，y5=-4
∵∠POQ=90°∵=（a，-4）=（a，4）
∴=a2-16a=0
解得：a=16   或  a=0（舍去）
②当直线L的斜率存在时  设斜率为k    则   直线L的方程为：
y-b=k（x-a）   （k≠0）
∴联立方程：
消去x 得：ky2-16y+16b-16ka=0
∴y4+y5=，y4×y5=
∴x4×x5=
∵∠POQ=90°
∴=x4×x5+y4×y5=+=0
即：k2（a2-16a）+k（16b-2ab）+b2=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组：且a≠0
∴解得：a=16，b=0
∴点M（16，0）
综上所述：存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，
点M的坐标为：（16，0）