Question

设抛物线C：y=x²-2m²x-（2m²+1）（m∈R），
（1）求证：抛物线C恒过x轴上一定点M；
（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点N，与y轴交于点P，求证：PN的斜率为定值；
（3）当m为何值时，△PMN的面积最小？并求此最小值．

Answer

（1）整理抛物线方程后x-1=0，即x=1时，求得y=0，进而可推断抛物线恒过（1，0）．
（2）令y=0得到关于x的一元二次方程，求得方程的根，进而确定n点坐标，令x=0，则可求得y，进而可得P点坐标．
（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．根据点P的坐标求得三角形的高，最后根据三角形面积公式得到三角形面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形面积的最小值．
【解析】
（1）由y=x2-2m2x-（2m2+1）得
y=x2-2m2（x-1）-1
令x-1=0，即x=1，则无论m为何值，总有y=12-0-1=0．即抛物线恒过（1，0）．
（2）令y=0，有[x-（2m2+1）]（x+1）=0，解得x=2m2+1或x=-1，由于-1＜0，故n点坐标为（2m2+1，0）．
令x=0，得y=-（2m2+1），即p点坐标为（0，-（2m2+1））．
故pn的斜率==1为定值．
（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．且
mn=2m2+1-1=2m2
p点纵坐标的长度=2m2+1
故S△PMN=•2m2•（2m2+1）=2m4+m2，故当m=0时，三角形PMN面积有最小值0