Question

已知抛物线C：y²=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．
（1）求证：是定值；
（2）求满足的点M的轨迹方程．

Answer

（1）由题意知k2x2+（2k2-4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，x1x2=1.=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+1）（x2+1）=k2+1+k2（）+k2=5，所以为常数．
（2）=（x1+x2，y1+y2）=（，）．设M（x，y），则y2=4x+8．由此可知M的轨迹方程为y2=4x+8（x＞2）．
【解析】
由得k2x2+（2k2-4）x+k2=0．
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，x1x2=1．
（1）证明：=x1x2+y1y2
=x1x2+k2（x1+1）（x2+1）
=（k2+1）x1x2+k2（x1+x2）+k2
=k2+1+k2（）+k2=5，
∴为常数．
（2）【解析】
=（x1+x2，y1+y2）=（，）．
设M（x，y），则消去k得y2=4x+8．
又∵x=＞2，故M的轨迹方程为y2=4x+8（x＞2）．