Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），，在有穷数列（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10） 且满足前k项和大于126，则k的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

Answer

由于f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），即F（x）=，求导得：所以函数F（x）在定义域上为单调递增函数，利用f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），，求出F（x）的解析式，利用数列求和公式及方程的思想即可．
【解析】
因为f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
即F（x）=，得：F′（x）=＞0，所以函数F（x）在R上为由单调递增函数，
又因为：f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），所以F（x）==ax（a＞1），
利用⇔F（1）+F（-1）=a+⇒a=2，
所以F（x）=2x，所以在有穷数列（n=1，2，…10）中，
任意取正整数k（1≤k≤10） 且满足前k项和大于126，
则k的最小值为：2+22+23+…+2k＞126⇒＞126⇒amin=7．
故选B．