Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n均有+++…+=（n+1）a_n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．
（2）由题先求出{an}的通项公式后再求Sn．仿写一个题目所给的条件，两式相减得到数列{cn}的表达式，讨论当3m=1和当3m≠1两种情况，前一种用等差数列的前n项和公式，后一种情况用错位相减法来解出结果．
【解析】
（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），
∴an=2n-1
由b2=a2=3，b3=a5=9，
易求得bn=3n-1
（2）当n=1时，c1=6；
当n≥2时，=（n+1）an+1-nan=4n+1，
∴cn=（4n+1）mn-1bn=（4n+1）（3m）n-1．
∴cn=
当3m=1，即m=时，
Sn=6+9+13+…+（4n+1）
=6+
=6+（n-1）（2n+5）=2n2+3n+1．
当3m≠1，即m≠时，
Sn=c1+c2++cn，即
Sn=6+9•（3m）+13•（3m）2++（4n-3）（3m）n-2+（4n+1）（3m）n-1．①
3mSn=6•3m+9•（3m）2+13•（3m）3++（4n-3）（3m）n-1+（4n+1）（3m）n．②
①-②得
（1-3m）Sn=6+3•3m+4•（3m）2+4•（3m）3++4•（3m）n-1-（4n+1）（3m）n
=6+9m+4[（3m）2+（3m）3++（3m）n-1]-（4n+1）（3m）n
=6+9m+-（4n+1）（3m）n．
∴Sn=+．
∴Sn=