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如图所示,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥...

如图所示,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥EF.

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(1)由线面垂直的性质得PA⊥BC,又AB⊥BC,从而证得BC⊥平面PAB. (2)由线面垂直的性质可得BC⊥AE,PB⊥AE,从而证得AE⊥平面PBC. (3)由线面垂直的性质可得AE⊥PC,又AF⊥PC,从而证得 PC⊥平面AEF,故PC⊥EF. 证明:(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC. ∵AB⊥BC,AB∩PA=A, ∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,∴BC⊥AE.∵PB⊥AE,BC∩PB=B,∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,∴AE⊥PC,∵AF⊥PC,AE∩AF=A,∴PC⊥平面AEF. 而EF⊂面AEF,∴PC⊥EF.
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考点分析:
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②若a⊥α,则α内的任何直线都与a垂直;
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④若α⊥β,则β内的任何直线都与α垂直.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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