Question

如图1，矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2．
（1）求四棱锥D-ABCE的体积；
（2）求证：AD⊥平面BDE．

Answer

（1）先取AE中点O，连接DO，推得DO⊥平面ABCE．即DO为高，然后再分别求出高和低面积即可．
（2）先证AE⊥EB，再利用DO⊥平面ABCE⇒DO⊥BE⇒BE⊥平面ADE⇒BE⊥AD，又有AD⊥DE，可得结论．
【解析】
（1）取AE中点O，连接DO，由题意知：
AB=2AD=2a，ED=EC，
∴AD=DE，∴DO⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，
∴DO⊥平面ABCE．
在等腰Rt△ADE中，
AD=DE=a，
DO=a，
又S梯形ABCE=（a+2a）a=a2，
∴VD-ABCE=S梯形ABCE•DO=•a2•a=a3．

（2）证明：在题图1中，连接BE，
则BE==a，
又AE=a，AB=2a，
∴AB2=AE2+EB2，
∴AE⊥EB，
由（1）知：DO⊥平面ABCE，
∴DO⊥BE，又DO∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，
∴AD⊥平面BDE．